Les "suites" musicales et les "suites" mathématiques...

La copie de Bach n’est peut-être pas conforme
Le Figaro du 1er novembre 2014

 Un chercheur affirme que l’épouse du musicien serait l’auteur de pièces majeures.
Thierry Hillériteau

Depuis une semaine, la question agite les réseaux sociaux : la seconde femme de Bach aurait-elle fait plus que jouer les copistes pour son diable de mari ? Le débat, qui a fait des remous dans la presse anglo-saxonne, est allé jusqu’à provoquer l’ire du violoncelliste Steven Isserlis, qui s’en est expliqué dans son blog sur le site du Guardian.

L’instigateur de cette microrévolution ?
Martin Jarvis, chef d’orchestre et chercheur à l’université Charles-Darwin, en Australie. Sa théorie selon laquelle Anna- Magdalena pourrait être à l’origine de plusieurs œuvres majeures attribuées au Cantor, dont les Suites pour violoncelle et une partie du Clavier bien tempéré, il la soutient depuis 2006. Il est allé jusqu’à la défendre en 2008 devant une assemblée d’experts qui le renvoya ipso facto à ses chères études. Une expérience qu’il avait d’ailleurs comparée… au procès de Galilée !

Analyse graphologique
Huit ans plus tard, il persiste avec un documentaire qui reprend le titre de son livre, Written by Mrs Bach. Projeté mercredi aux Bafta de Londres, le film n’hésite pas à se vendre, dans une bande-annonce digne du Da Vinci Code (et sur fond du chœur d’entrée de la Passion selon saint Jean), comme « l’une des plus grandes controverses du monde de la musique » !

Au cœur de son argumentaire, l’analyse d’une graphologue qui affirme que l’écriture d’Anna -Magdalena sur le manuscrit des Suites (que l’on considérait jusqu’ici comme une simple retranscription) est trop rapide et espacée pour qu’il s’agisse d’un travail de copie : cela suggère un acte de création. « Pourquoi ? », s’insurge Isserlis, avant de préciser que le manuscrit en question (où il est clairement écrit « 6 Suites a Violoncello Solo senza Basso composées par Sr. J. S. Bach ») ne comporte ni rature ni rajout… Ce qui aurait été le cas d’un manuscrit de travail.

Début de vérité ou nouveau coup d’éclat d’un affabulateur en série ? Dans tous les cas, Jarvis aura toujours atteint deux de ses objectifs : continuer de faire parler de lui et rappeler que les grands compositeurs ne sont pas forcément des hommes. Sur ce dernier point, au moins, il n’a sûrement pas tort.

A l’origine du livre des livres
LE MONDE SCIENCE ET TECHNO du 24 novembre 2014
Philippe Pajot

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) était précocement doué pour les mathématiques. A ce propos, on raconte souvent l’anecdote suivante : âgé de seulement 10 ans, alors que l’enseignant avait demandé à ses élèves de calculer la somme de tous les nombres entiers (1 + 2 + 3 + 4…) jusqu’à 100, Gauss avait remarqué qu’en écrivant cette somme dans un sens, puis en l’ajoutant terme à terme dans l’autre sens, il obtenait à chaque fois 101. Il suffisait donc de multiplier 101 par 100 (le nombre de termes) et de diviser par deux pour obtenir la somme recherchée (5050) en quelques instants alors que ses camarades poursuivaient laborieusement leurs additions…

S’il est surtout connu comme mathématicien, Gauss a occupé toute sa vie professionnelle en tant qu’astronome. Il y a obtenu d’importants résultats ainsi qu’en physique. A la fin du XIXe siècle, grâce à son aura, sa ville de Göttingen deviendra un important centre de mathématiques qui rayonnera à travers le monde. Parmi ses multiples centres d’intérêt, l’arithmétique est sans doute un de ceux où son influence s’est fait le plus sentir. Une influence qui perdure jusqu’à aujourd’hui, puisque la médaille Fields attribuée cet été au mathématicien canadien Manjul Bhargava a récompensé des travaux qui sont un héritage direct de ceux de Gauss.

Une partie essentielle de l’arithmétique de Gauss se trouve dans un ouvrage qu’il a écrit alors qu’il n’avait pas 20 ans. Ses Recherches arithmétiques (Disquisitiones arithmeticae) rassemblent ce qui était connu en théorie des nombres à l’époque. Il y fait un travail d’unification des connaissances arithmétiques, introduisant de multiples nouveautés. Publié en 1801, ce livre devient pour beaucoup de ses contemporains un livre de chevet dans lequel ils puiseront leur inspiration, le « livre des livres » comme le baptise Leopold Kronecker. Une inspiration qui perdurera jusqu’à une période très récente. « Une longue lignée de mathématiciens tels qu’Evariste Galois (1811-1832), Emmy Noether (1882-1935) ou André Weil (1906-1998) s’est explicitement appuyée sur cet ouvrage de jeunesse de Gauss », explique Catherine Goldstein, historienne des mathématiques au CNRS. Que contient ce livre de si extraordinaire ?

Congruences
On peut le séparer essentiellement en trois parties. Dans la première, Gauss introduit la notion de congruence, qui permet de discuter les questions de divisibilité sur des entiers à la manière des équations. On va pouvoir dès lors additionner des congruences, les multiplier, etc. « Gauss montre que les congruences sont un outil puissant pour résoudre un certain nombre de questions en théorie des nombres », raconte Catherine Goldstein.

La deuxième partie de l’ouvrage aborde les formes quadratiques, des expressions qui généralisent des sommes de carrés. En faisant une espèce de bestiaire de ces objets mathématiques abstraits vont apparaître des méthodes qui contiennent en germe la notion de groupe qui sera plus tard formalisée par Galois et d’autres. Dans cette même partie, il s’interroge sur la manière de composer entre elles les formes quadratiques. Partant de formes quadratiques qui sont déjà des objets assez abstraits – ce ne sont pas simplement des nombres –, il explique quelles opérations il est possible de faire sur ces objets. « C’est en étendant ces lois de composition à des formes plus complexes que les formes quadratiques que Bhargava a développé dans les années 2000 les résultats qui viennent de lui valoir la médaille Fields », souligne Catherine Goldstein.

Enfin, dans une troisième partie, Gauss utilise ses résultats sur les congruences pour traiter certaines équations que l’on appelle équations du cercle. Il s’agit d’équations dont les solutions sont les racines de l’unité, des équations du type xn – 1 = 0. Gauss explique les conditions pour résoudre cette famille d’équations. Il donne ainsi le premier exemple d’une procédure de résolution qui fonctionne pour une famille infinie d’équations (quel que soit l’entier n). Au passage, il répond à une question qui était en suspens depuis l’Antiquité, ce qui lui vaut un grand succès : à quelle condition peut-on construire à la règle et au compas un polygone régulier inscrit dans un cercle ? Comme les sommets du polygone sont représentés par les racines de l’unité, ce problème revient à résoudre l’équation du cercle sous certaines conditions. En particulier, il démontre qu’on ne peut pas construire un heptagone régulier ainsi, mais qu’on peut construire un polygone à 17 côtés.

Les Recherches arithmétiques de Gauss contiennent encore d’autres résultats, notamment des tests de primarité (comment déterminer qu’un nombre est premier) qu’il discute en théorie et avec des exemples numériques. Un chapitre non publié a été récemment retrouvé sous forme de brouillon. Or ce chapitre est en fait une ébauche de la théorie des corps finis, qui ne sera développée que cinquante ans plus tard. C’est aussi dans ce livre que l’on trouve pour la première fois des démonstrations mathématiques longues et détaillées. Un changement d’esprit par rapport à ce qui était pratiqué à l’époque et qui va influencer durablement le développement ultérieur des mathématiques. « On a l’impression, s’exclame, admirative, Catherine Goldstein, qu’il s’agit d’un livre inépuisable dans ses techniques. »

Gauss et la théorie des nombres
Baptisé « le prince des mathématiciens », il est à l’origine d’avancées considérables dans des domaines aussi divers que les mathématiques, la physique ou l’astronomie. D’origine modeste, il fut le protégé du duc de Brunswick, qui lui permit de se consacrer à sa vocation. Le scientifique allemand lui dédia son premier livre sur la théorie des nombres, Disquisitiones arithmeticae. La construction à la règle et au compas d’un polygone régulier à 17 côtés qui occupait les mathématiciens depuis la Grèce classique constitue l’une de ses premières grandes découvertes. Prenant la suite de d’Alembert, Gauss démontra ensuite le théorème fondamental de l’algèbre. Mais le résultat qui le fit connaître auprès de ses contemporains est sans conteste le calcul de l’orbite de l’astéroïde Cérès, qui lui valut le poste de directeur de l’observatoire de Göttingen.

9,99 €, en vente le 26 novembre.